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\title{高等代数第七章《线性变换》课文与习题}
\author{北大} 
%\date{2025年3月9日}
\date{\today}

\begin{document}

\maketitle

\section{第七章课文}

\subsection{线性变换的定义}

\begin{enumerate}

\item 线性空间 $V$ 到自身的一个变换 $\mathcal{A}:V\to V$ 什么时候称为是线性变换？

\item  平面上从原点出发的向量全体，绕原点逆时针旋转 $\theta$ 角度。说明这可以看作是一个线性变换。

\item  设 $\alpha$ 是立体空间中的一个固定向量。将每个向量变到它在 $\alpha$ 上的射影。
说明这是一个线性变换。

\item  解释线性空间到自身的恒等变换、零变换与数量变换。

\item  多项式全体组成的线性空间，说明求微商运算是一个线性变换。

\item  闭区间上的连续函数全体组成一个线性空间，将积分运算看作这个线性空间到自身的一个线性变换。

\item  设 $\mathcal{A}:V\to V$ 是一个线性变换。则 $\mathcal{A}(\theta)=\theta$, 
$\mathcal{A}(-\alpha)=-\mathcal{A}(\alpha)$. 

\item  线性变换将线性相关的向量组变成线性相关的向量组。
举例说明线性变换可能将线性无关的向量组变成线性相关的向量组。


\end{enumerate}

\subsection{线性变换的运算}

\begin{enumerate}

\item  两个线性变换的乘积是怎么定义的？

\item  两个线性变换的和是怎么定义的？

\item  一个线性变换的数量乘法是怎么定义的？

\item  什么时候称一个线性变换是可逆的？逆变换是怎么定义的？

\item  什么是一个线性变换的多项式？

\item  设 $\alpha$ 是立体空间中的一个固定向量。设 $x$ 是经过原点的垂直于 $\alpha$ 的平面。
设 $\Pi_\alpha$ 是将每个向量变到它在 $\alpha$ 所在直线 $\L(\alpha)$ 的射影。
设 $\Pi_x$ 是把每个向量变到它在平面 $x$ 的射影。
设 $\mathcal{R}_x$ 是把每个向量变到它以平面 $x$ 为镜面的倒影。
证明 $\Pi_x=\mathcal{E}-\Pi_\alpha$ 以及 $\mathcal{R}_x=E-2\Pi_\alpha$.  

\item  在次数小于 $n$ 的多项式全体组成的线性空间中，设 $\mathcal{D}$ 是求微商运算。
设 $\mathcal{S}_a(f(x))=f(x+a)$ 是自变量的平移运算。证明 $\mathcal{S}_a$ 是 $\mathcal{D}$ 的一个多项式。提示：泰勒展开。

\end{enumerate}


\subsection{线性变换的矩阵}

\begin{enumerate}

\item  （定理1）设 $V$ 是 $n$ 维线性空间。设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 是 $V$ 的一组基。设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是 $V$ 中的任意 $n$ 个向量。则存在唯一的一个线性变换 $\mathcal{A}$ 使得 $\mathcal{A}(\varepsilon_i)=\alpha_i, 1\le i\le n$. 

\item  （定义2）设 $V$ 是 $n$ 维线性空间。设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 是 $V$ 的一组基。写出线性变换 $\mathcal{A}:V\to V$ 在这组基下的矩阵的定义。

\item  （例1）设 $W$ 是线性空间 $V$ 的子空间。设 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots, \varepsilon_m$ 是 $W$ 的一组基。扩充为 $V$ 的一组基，得到 
$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots, \varepsilon_n$. 
定义线性变换 $\mathcal{A}:V\to V$, 在这组基上的结果为 
\[
\left\{\begin{array}{ll}
\mathcal{A}(\varepsilon_i)=\varepsilon_i, & 1\le i\le m, \\
\mathcal{A}(\varepsilon_i)=\theta, & m+1\le i\le n. \\
\end{array}\right. 
\]
写出这个投影变换的矩阵。（以 $n=2,3$ 为例，说明跟正交投影的区别）

\item  （定理2）设 $V$ 是实数域上的$n$维线性空间。设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 是 $V$ 的一组基。
在这组基下，每个线性变换$\mathcal{A}$对应一个矩阵$A$. 则有下述规律，
\begin{eqnarray*}
\mathcal{A}+\mathcal{B} &\leftrightarrow& A+B \\
\mathcal{A}\mathcal{B} &\leftrightarrow& AB \\
k\mathcal{A} &\leftrightarrow& kA \\
\mathcal{A}^{-1} &\leftrightarrow& A^{-1} 
\end{eqnarray*}
即这个对应保持加法、数乘、乘法、和求逆。

\item  （定理3）设线性变换 $\mathcal{A}$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 下的矩阵是 $A$, 设向量 $\xi$ 在这组基下的坐标是 $X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$. 则 $\mathcal{A}(\xi)$ 在这组基下的坐标是 
$Y=AX$. 

\item  （定理4）设线性空间 $V$ 上的线性变换 $\mathcal{A}$ 在两组基
$\varepsilon_1, \varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$
和 $\eta_1, \eta_2,\cdots,\eta_n$ 下的矩阵分别是 $A$ 与 $B$. 
设从第一组基到第二组基的过渡矩阵是 $P$. 则有 $B=P^{-1}AP$. 

\item （定义3）什么时候称两个矩阵 $A$ 与 $B$ 相似？

\item  （定理5）
\begin{enumerate}
\item  证明线性变换在不同的基下的矩阵之间是相互相似的。
\item  证明如果两个矩阵相似，那么它们可以看作是同一个线性变换在两组基下的矩阵。
\end{enumerate}

\item  （例子2）设 $V$ 是实二维线性空间，设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 是一组基，设线性变换 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵为 
\[
A=\begin{pmatrix} 2&1 \\ -1&0 \end{pmatrix}
\]
设第二组基为 
\[
\begin{pmatrix} \eta_1 & \eta_2 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} \varepsilon_1 & \varepsilon_2 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1&-1 \\ -1&2 \end{pmatrix}
\]
\begin{enumerate}
\item  求线性变换 $\mathcal{A}$ 在第二组基下的矩阵。
\item  求线性变换 $\mathcal{A}^k$ 在第一组基下的矩阵。
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{特征值和特征向量}

\begin{enumerate}

\item  （定义4）设 $\mathcal{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换。$\mathcal{A}$ 的特征值与特征向量分别指的是什么？

\item  如何把计算线性变换的特征值与特征向量，转化为计算矩阵的特征值与特征向量？

\item  （例1）求数乘变换的特征值与特征向量。

\item  （例2）设线性变换 $\mathcal{A}$ 在一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵是 
\[
A=\begin{pmatrix} 1&2&2 \\ 2&1&2 \\ 2&2&1 \end{pmatrix}
\]
求这个线性变换的特征值与特征向量。

\item  （例3）设 $V$ 是次数小于 $n$ 的多项式全体组成的线性空间。求微分运算对应的线性变换的特征值与特征向量。

\item  （例4）求平面绕原点旋转固定角度对应的线性变换的特征值与特征向量。

\item  （定理6）证明相似的矩阵有相同的特征多项式。

\item  举例验证哈密顿-凯莱定理：设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda)$, 则有 $f(A)$ 为零矩阵。


\end{enumerate}

\subsection{对角矩阵}

\begin{enumerate}

\item  （定理7）设 $\mathcal{A}$ 是$n$维线性空间 $V$上的一个线性变换。则下述两个条件等价：
	\begin{enumerate}
	\item  存在一组基，使得 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵是对角阵。
	\item  线性变换$\mathcal{A}$有$n$个线性无关的特征向量。
	\end{enumerate}

\item  （定理8）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。

\item  （推论1）设 $\mathcal{A}$ 是$n$维线性空间 $V$ 的一个线性变换。如果$\mathcal{A}$的特征多项式有$n$个不同的根，则存在一组基，使得这个线性变换在这组基下的矩阵是对角阵。

\item  （推论2）设 $V$是复数域上的$n$维线性空间，设$\mathcal{A}$ 是 $V$ 上的一个线性变换。
如果$\mathcal{A}$ 的特征多项式没有重根，那么存在一组基，使得$\mathcal{A}$在这组基下的矩阵是对角阵。

\item  （定理9）设$\lambda_1,\cdots,\lambda_k$是线性变换$\mathcal{A}$的不同的特征值，
设$\alpha_{i1},\cdots,\alpha_{ir_i}$ 是属于特征值$\lambda_i$的线性无关的特征向量，
则向量组 $\alpha_{11},\cdots,\alpha_{1r_1},\cdots,\alpha_{k1},\cdots,\alpha_{kr_k}$ 也线性无关。

\item  （例1）设线性变换 $\mathcal{A}$ 在一组基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵是 
\[
A=\begin{pmatrix} 1&2&2 \\ 2&1&2 \\ 2&2&1 \end{pmatrix}
\]
已知这个线性变换的特征值是$\lambda_{1,2}=-1,\lambda_3=5$, 相应的特征向量是
$\xi_1=\varepsilon_1-\varepsilon_3$, 
$\xi_2=\varepsilon_2-\varepsilon_3$, 
$\xi_3=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3$. 
验证向量组 $\xi_1,\xi_2,\xi_3$也是一组基，并求线性变换 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵。
 
\item  （例2）计算下述斐波那契数列的通项，
\begin{eqnarray*}
&& h_0=h_1=1,\\ 
&& h_n=h_{n-1}+h_{n-2},\quad n\ge 2. 
\end{eqnarray*}


\end{enumerate}

\subsection{线性变换的值域与核}

\begin{enumerate}

\item  （定义6）设 $\mathcal{A}$ 是线性空间 $V$ 上的一个线性变换，什么是 $\mathcal{A}$ 的像？什么是 $\mathcal{A}$ 的核？

\item  （例1）设 $V=\mathbb{R}[x]_n$ 是次数小于 $n$ 的实系数多项式全体组成的线性空间。求微分 $\mathcal{D}: V\to V$ 的像与核。

\item  （定理10）设 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换。
设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 是$V$的一组基。
设 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵是 $A$. 则
\begin{enumerate}
\item  $\mathcal{A}$ 的像是 $L(\mathcal{A}\varepsilon_1, \mathcal{A}\varepsilon_2,\cdots,\mathcal{A}\varepsilon_n)$. 
\item  $\mathcal{A}$ 的秩等于 $A$ 的秩。
\end{enumerate}

\item  

\item  （定理11）设 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维线性空间$V$ 上的线性变换。
设 $\eta_1,\cdots,\eta_r$ 是像空间 $\mathcal{A}(V)$ 的一组基，
设 $\mathcal{A}(\varepsilon_i)=\eta_i,1\le i\le r$. 
设 $\varepsilon_{r+1},\cdots,\varepsilon_s$ 是核空间 $\mathcal{A}^{-1}(0)$ 的一组基。
则有下述结论成立：
\begin{enumerate}
\item  向量组 $\varepsilon_{1},\cdots,\varepsilon_s$ 是 $V$ 的一组基。
\item  $\mathcal{A}$ 的秩 + $\mathcal{A}$ 的零度 = $n$. 
\end{enumerate}

\item  （推论）设 $\mathcal{A}$ 是 $n$ 维线性空间$V$ 上的线性变换。则下述条件等价：
\begin{enumerate}
\item  $\mathcal{A}$ 是单射。
\item  $\mathcal{A}$ 是满射。
\end{enumerate}


\item  （例2）设 $A$ 是$n$阶矩阵，且$A^2=A$. 证明 $A$ 相似于对角阵 
$$
\begin{pmatrix}
E_r&O \\
O&O_{n-r} \\
\end{pmatrix}. 
$$
%$$
%\begin{pmatrix}
%1&&&&& \\ 
%&\ddots&&&& \\ 
%&&1&&& \\ 
%&&&0&& \\ 
%&&&&\ddots& \\ 
%&&&&&0 \\ 
%\end{pmatrix}. 
%$$



\end{enumerate}

\subsection{不变子空间}

\begin{enumerate}

\item  （定义7）设 $\mathcal{A}$ 是线性空间$V$上的线性变换，设 $W\subset V$ 是子空间，
如果对任意 $\xi\in W$, 有 $\mathcal{A}(\xi)\in W$, 那么称 $W$ 是 $\mathcal{A}$ 的不变子空间，称为 $\mathcal{A}$-不变子空间。 

\item  （例1）全空间、零空间是不变子空间。

\item  （例2）像空间与核空间是不变子空间。

\item  设线性变换 $\mathcal{A},\mathcal{B}$ 可交换，即 $\mathcal{A}\mathcal{B}=\mathcal{B}\mathcal{A}$. 则核空间 $\mathrm{Ker}(\mathcal{B})$ 与像空间 $\mathrm{Im}(\mathcal{B})$都是$\mathcal{A}$-不变子空间。

\item  求数量变换的不变子空间。

\item  设 $\mathcal{A}$ 是线性空间$V$上的线性变换，设 $W\subset V$ 是一个$\mathcal{A}$-不变子空间，将 $W$ 的一组基 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_s$ 扩充成 $V$ 的一组基 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_s, \varepsilon_{s+1}, \cdots, \varepsilon_n$. 
求 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵。

\item  设 $\mathcal{A}$ 是线性空间$V$上的线性变换，
设 $W_1,W_2\subset V$ 都是$\mathcal{A}$-不变子空间，且有 $V=W_1\oplus W_2$. 
设 $\varepsilon_{11},\cdots,\varepsilon_{1n_1}$ 是 $W_1$ 的一组基。
设 $\varepsilon_{21},\cdots,\varepsilon_{2n_2}$ 是 $W_2$ 的一组基。

\begin{enumerate}
\item  证明 $\varepsilon_{11},\cdots,\varepsilon_{1n_1}, \varepsilon_{21},\cdots,\varepsilon_{2n_2}, $ 是 $V$ 的一组基。
\item  求 $\mathcal{A}$ 在这组基下的矩阵。
\end{enumerate}

\item  设 $\mathcal{A}$ 是$n$维线性空间$V$上的线性变换。
设其特征多项式可以分解成一次因式的乘积 
$$f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}(\lambda-\lambda_2)^{r_2}\cdots (\lambda-\lambda_s)^{r_s},$$
记 $V_i=\{\xi\in V \mid (\mathcal{A}-\lambda_i\mathcal{E})^{r_i}\xi =\theta \}$. 

（这个子空间称为 $\mathcal{A}$的属于特征值 $\lambda_i$ 的根子空间。常记为 $V^{\lambda_i}$.）

则这些 $V_i$ 都是 $\mathcal{A}$-不变子空间，且有直和
$$V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_s. $$
 


\end{enumerate}

\subsection{若尔当标准形}

\begin{enumerate}

\item  （定义9）下述矩阵$J(\lambda,k)$的称为若尔当块，矩阵$A$称为若尔当形矩阵，
$$
J(\lambda,k)=
\begin{pmatrix}
\lambda&1&\cdots&0&0 \\
0&\lambda&\cdots&0&0 \\
\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots \\
0&0&\cdots&\lambda&1 \\
0&0&\cdots&0&\lambda \\
\end{pmatrix}, 
\quad
A=
\begin{pmatrix}
J(\lambda_1,k_1)&&& \\ 
&J(\lambda_2,k_2)&& \\ 
&&\ddots& \\ 
&&&J(\lambda_1,k_s) \\ 
\end{pmatrix}.  
$$

\item （定理13）设$\mathcal{A}$是复数域上$n$维线性空间$V$上的一个线性变换。
则$V$存在一组基，使得$\mathcal{A}$在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵，称为$\mathcal{A}$的若尔当标准形。

\item  设设$\mathcal{A}$是$n$维线性空间$V$上的一个线性变换。
设$\mathcal{A}$是幂零的，即存在正整数$k$使得$\mathcal{A}^k$为零变换。
则$V$存在一组基，使得$\mathcal{A}$在这组基下的矩阵为下述的$A$,
$$
J(0,k)=
\begin{pmatrix}
0&1&\cdots&0&0 \\
0&0&\cdots&0&0 \\
\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots \\
0&0&\cdots&0&1 \\
0&0&\cdots&0&0 \\
\end{pmatrix}, 
\quad
A=
\begin{pmatrix}
J(0,k_1)&&& \\ 
&J(0,k_2)&& \\ 
&&\ddots& \\ 
&&&J(0,k_s) \\ 
\end{pmatrix}.  
$$
写出4维复线性空间上的幂零线性变换的所有若尔当标准形。


\item  （定理14）设 $A$ 是$n$阶复数矩阵。则存在可逆的$n$阶复数矩阵 $P$使得 $P^{-1}AP$ 是若尔当形矩阵。


\end{enumerate}

\subsection{最小多项式}

\begin{enumerate}

\item  设 $A$ 是一个$n$阶实系数矩阵。考虑集合
$$
S=\{ f(x)\in\mathbb{R}[x] \mid f(A)=O\}.
$$
\begin{enumerate}
\item  因为$A$的特征多项式在这个集合中，所以这个集合不是空集。
\item  设 $f(x)\in S$, 设 $g(x)\in \mathbb{R}[x]$, 则 $f(x)g(x)\in S$.
\item  集合$S$中的次数最低的首一多项式称为$A$的最小多项式。
\end{enumerate}

\item  （例1）设$A$是数量矩阵，求$A$的最小多项式。

\item  （例2）求矩阵$A=\begin{pmatrix}1&1&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$
的最小多项式。

\item  （例3）求下述矩阵的最小多项式，
$$
A=\begin{pmatrix}
1&1&0&0 \\ 
0&1&0&0 \\ 
0&0&1&0 \\ 
0&0&0&2 \\ 
\end{pmatrix}, \quad
B=\begin{pmatrix}
1&1&0&0 \\ 
0&1&0&0 \\ 
0&0&2&0 \\ 
0&0&0&2 \\ 
\end{pmatrix}. 
$$

\item  求若尔当块$J$的最小多项式，
$$
J=\begin{pmatrix}
a&1&0&0 \\ 
0&a&1&0 \\ 
0&0&a&1 \\ 
0&0&0&a \\ 
\end{pmatrix}.
$$

\item  设矩阵$A_i$的最小多项式是$g_i(x)$, $i=1,2$. 求分块对角矩阵$A$的最小多项式，
$$
A=\begin{pmatrix}
A_1&O \\ 
O&A_2 \\
\end{pmatrix}.
$$

\item  （定理15）设实数矩阵$A$的最小多项式是互素的一次因式的乘积
$$g(x)=(x-x_1)^{r_1}(x-x_2)^{r_2}\cdots (x-x_s)^{r_s},$$
其中$x_1,x_2,\cdots,x_s$ 是互不相同的实数。则存在可逆实数矩阵$P$使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。

\end{enumerate}


\section{第七章习题}

1. 判断下面所定义的变换，哪些是线性的，哪些不是：

  1) 在线性空间 \( V \) 中，\( \mathcal{A} \xi = \alpha \)，其中 \( \alpha \in V \) 是一固定的向量；

  2) 在线性空间 \( V \) 中，\( \mathcal{A} \xi = \xi + \alpha \)，其中 \( \alpha \in V \) 是一固定的向量；

  3) 在 \( \mathbb{R}^3 \) 中，\( \mathcal{A}(x_1, x_2, x_3) = (x_1^2, x_2^2, x_3^2) \)；

  4) 在 \( \mathbb{R}^3 \) 中，\( \mathcal{A}(x_1, x_2, x_3) = (2x_1 - x_2, x_2 + x_3, x_1) \)；

  5) 在 \( P[x] \) 中，\( \mathcal{A}f(x) = f(x+1) \)；

  6) 在 \( P[x] \) 中，\( \mathcal{A}f(x) = f(x_0) \)，其中 \( x_0 \in P \) 是一固定的数；

  7) 把复数域看作复数域上的线性空间，\( \mathcal{A} \xi = \overline{\xi} \)；

  8) 在 \( P^{n \times n} \) 中，\( \mathcal{A}(X) = BXC \)，其中 \( B,C \in P^{n \times n} \) 是两个固定的矩阵。


2. 在几何空间中，取正交坐标系 \( Oxyz \) 以 \( \mathcal{A} \) 表示将空间绕 \( Ox \) 轴由 \( Oy \) 向 \( Oz \) 方向旋转 \( 90^\circ \) 的变换，以 \( \mathcal{B} \) 表示绕 \( Oy \) 轴由 \( Oz \) 向 \( Ox \) 方向旋转 \( 90^\circ \) 的变换，以 \( \mathcal{C} \) 表示绕 \( Oz \) 轴由 \( Ox \) 向 \( Oy \) 方向旋转 \( 90^\circ \) 的变换。证明：

\[
\mathcal{A}^4 = \mathcal{B}^4 = \mathcal{C}^4 = \mathcal{E},
\mathcal{A} \mathcal{B} \neq \mathcal{B} \mathcal{A},
\,\,\textrm{但}\,\,
\mathcal{A}^2 \mathcal{B}^2 = \mathcal{B}^2 \mathcal{A}^2.
\]

并检验 \( (\mathcal{A} \mathcal{B})^2 = \mathcal{A}^2 \mathcal{B}^2 \) 是否成立。

3. 在 \( P[x] \) 中，\( \mathcal{A}f(x) = f'(x) \)，\( \mathcal{B}f(x) = xf(x) \)，证明：

\[
\mathcal{A} \mathcal{B} - \mathcal{B} \mathcal{A} = \mathcal{E}.
\]

4. 设 \( \mathcal{A} \)，\( \mathcal{B} \) 是线性变换，如果 \( \mathcal{A} \mathcal{B} - \mathcal{B} \mathcal{A} = \mathcal{E} \)，证明：

\[
\mathcal{A}^k \mathcal{B} - \mathcal{B} \mathcal{A}^k = k \mathcal{A}^{k-1}, \quad k > 1.
\]

5. 证明：可逆变换是双射。

6. 设 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n \) 是线性空间 \( V \) 的一组基，\( \mathcal{A} \) 是 \( V \) 上的线性变换，证明：\( \mathcal{A} \) 可逆当且仅当 \( \mathcal{A} \varepsilon_1, \mathcal{A} \varepsilon_2, \cdots, \mathcal{A} \varepsilon_n \) 线性无关。

7. 求下列线性变换在所指定基下的矩阵：

  1) 第 1 题 4) 中变换 \( \mathcal{A} \) 在基 \( e_1 = (1, 0, 0), e_2 = (0, 1, 0), e_3 = (0, 0, 1) \) 下的矩阵；

  2) \( [O;e_1,e_2] \) 是平面上一直角坐标系，\( \mathcal{A} \) 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影，\( \mathcal{B} \) 是平面上的向量对 \( e_2 \) 的垂直投影，求 \( \mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{A} \mathcal{B} \) 在基 \( e_1, e_2 \) 下的矩阵；

  3) 在空间 \( P[x] \) 中，设变换 \( \mathcal{A} \) 为 \( f(x) \rightarrow f(x+1) - f(x) \)，求 \( \mathcal{A} \) 在基
\[
e_0 = 1, \quad e_i = \frac{x(x-1) \cdots (x-i+1)}{i!}, \quad i = 1, 2, \cdots, n-1
\]
下的矩阵；

4) 6个函数
\begin{eqnarray*}
 \varepsilon_1 = e^{ax} \cos bx, \hspace{0.5cm}
 \varepsilon_2 = e^{ax} \sin bx, \hspace{0.5cm}
 \varepsilon_3 = xe^{ax} \cos bx, \\ 
 \varepsilon_4 = xe^{ax} \sin bx, \hspace{0.5cm} 
 \varepsilon_5 = \frac{1}{2}x^2 e^{ax} \cos bx, \hspace{0.5cm}
 \varepsilon_6 = \frac{1}{2}x^2 e^{ax} \sin bx 
\end{eqnarray*}
的所有实系数线性组合构成实数域上一个6维线性空间，求微分变换 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\varepsilon_i (i=1,2,\cdots,6)\) 下的矩阵；

5) 已知 \(P^3\) 中线性变换 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\eta_1 = (-1,1,1), \eta_2 = (1,0,-1), \eta_3 = (0,1,1)\) 下的矩阵是
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
-1 & 2 & 1 
\end{pmatrix},
\]
求 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\varepsilon_1 = (1,0,0), \varepsilon_2 = (0,1,0), \varepsilon_3 = (0,0,1)\) 下的矩阵；

6) 在 \(P^3\) 中，\(\mathcal{A}\) 定义如下：
\[
\begin{cases}
\mathcal{A} \eta_1 = (-5,0,3), \\
\mathcal{A} \eta_2 = (0,-1,6), \\
\mathcal{A} \eta_3 = (-5,-1,9),
\end{cases}
\]
其中
\[
\begin{cases}
\eta_1 = (-1,0,2), \\
\eta_2 = (0,1,1), \\
\eta_3 = (3,-1,0),
\end{cases}
\]
求 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\varepsilon_1 = (1,0,0), \varepsilon_2 = (0,1,0), \varepsilon_3 = (0,0,1)\) 下的矩阵；

7) 同上，求 \(\mathcal{A}\) 在 \(\eta_1, \eta_2, \eta_3\) 下的矩阵。

8. 在 \(P^{2\times 2}\) 中定义线性变换
\[
\mathcal{A}_1(X) = 
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix} X, \quad \mathcal{A}_2(X) = X 
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix},
\]
\[
\mathcal{A}_3(X) = 
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix} X 
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix},
\]
求 \(\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, \mathcal{A}_3\) 在基 \(E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\) 下的矩阵。

9. 设三维线性空间 \( V \) 上的线性变换 \(\mathcal{A}\) 在基 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3 \) 下的矩阵为
\[
A = 
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}.
\]

1) 求 \(\mathcal{A}\) 在基 \( \varepsilon_3, \varepsilon_2, \varepsilon_1 \) 下的矩阵；

2) 求 \(\mathcal{A}\) 在基 \( \varepsilon_1, k\varepsilon_2, \varepsilon_3 \) 下的矩阵，其中 \( k \in P \) 且 \( k \neq 0 \)；

3) 求 \(\mathcal{A}\) 在基 \( \varepsilon_1 + \varepsilon_2, \varepsilon_2, \varepsilon_3 \) 下的矩阵。

10. 设 \(\mathcal{A}\) 是线性空间 \( V \) 上的线性变换，如果 \(\mathcal{A}^{k-1} \xi \neq 0\)，但 \(\mathcal{A}^k \xi = 0\)，求证 \(\xi, \mathcal{A} \xi, \cdots, \mathcal{A}^{k-1} \xi (k>0)\) 线性无关。

11. 在 \( n \) 维线性空间中，设有线性变换 \(\mathcal{A}\) 与向量 \(\xi\)，使得 \(\mathcal{A}^{n-1} \xi \neq 0\)，但 \(\mathcal{A}^n \xi = 0\)，求证 \(\mathcal{A}\) 在某组基下的矩阵是
\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0
\end{pmatrix}.
\]

12. 设 \( V \) 是数域 \( P \) 上 \( n \) 维线性空间。证明：\( V \) 上的与全体线性变换可交换的线性变换是数乘变换。


13. \(\mathcal{A}\) 是数域 \(P\) 上 \(n\) 维线性空间 \(V\) 的一个线性变换。证明：如果 \(\mathcal{A}\) 在任意一组基下的矩阵都相同，那么 \(\mathcal{A}\) 是数乘变换。

14. 设 \(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4\) 是 4 维线性空间 \(V\) 的一组基，已知线性变换 \(\mathcal{A}\) 在这组基下的矩阵为
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 2 & 1 \\
-1 & 2 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 5 & 5 \\
2 & -2 & 1 & -2
\end{pmatrix}.
\]

1) 求 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\eta_1 = \varepsilon_1 - 2\varepsilon_2 + \varepsilon_4\), \(\eta_2 = 3\varepsilon_2 - \varepsilon_3 - \varepsilon_4\), \(\eta_3 = \varepsilon_3 + \varepsilon_4\), \(\eta_4 = 2\varepsilon_4\) 下的矩阵；

2) 求 \(\mathcal{A}\) 的核与值域；

3) 在 \(\mathcal{A}\) 的核中选一组基，把它扩充成 \(V\) 的一组基，并求 \(\mathcal{A}\) 在这组基下的矩阵；

4) 在 \(\mathcal{A}\) 的值域中选一组基，把它扩充成 \(V\) 的一组基，并求 \(\mathcal{A}\) 在这组基下的矩阵。

15. 给定 \(P^3\) 的两组基
\begin{eqnarray*}
\varepsilon_1 = (1, 0, 1), \quad \varepsilon_2 = (2, 1, 0), \quad \varepsilon_3 = (1, 1, 1), \\
\eta_1 = (1, 2, -1), \quad \eta_2 = (2, 2, -1), \quad \eta_3 = (2, -1, -1).
\end{eqnarray*}
定义线性变换 \(\mathcal{A}\)：
\[
\mathcal{A} \varepsilon_i = \eta_i, \quad i = 1, 2, 3.
\]

1) 写出由基 \(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\) 到基 \(\eta_1, \eta_2, \eta_3\) 的过渡矩阵；

2) 写出 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\) 下的矩阵；

3) 写出 \(\mathcal{A}\) 在基 \(\eta_1, \eta_2, \eta_3\) 下的矩阵。

16. 证明：
\[
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & & & \\
& \lambda_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_n
\end{pmatrix}
\,\,\textrm{与}\,\,
\begin{pmatrix}
\lambda_{i_1} & & & \\
& \lambda_{i_2} & & \\
& & \ddots & \\
& & & \lambda_{i_n}
\end{pmatrix}
\]
相似，其中 \( i_1, i_2, \cdots, i_n \) 是 \( 1, 2, \cdots, n \) 的一个排列。

17. 如果 \( A \) 可逆，证明：\( AB \) 与 \( BA \) 相似。

18. 如果 \( A \) 与 \( B \) 相似，\( C \) 与 \( D \) 相似，证明：
\[
\begin{pmatrix}
A & O \\
O & C
\end{pmatrix}
\,\,\textrm{与}\,\,
\begin{pmatrix}
B & O \\
O & D
\end{pmatrix}
\]
相似。

19. 求复数域上线性空间 \( V \) 的线性变换 \(\mathcal{A}\) 的特征值与特征向量，已知 \(\mathcal{A}\) 在一组基下的矩阵为：

1) \( A = \begin{pmatrix}
3 & 4 \\
5 & 2
\end{pmatrix} \);

2) \( A = \begin{pmatrix}
0 & a \\
-a & 0
\end{pmatrix} \);

3) \( A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & -1 & -1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & -1 & 1
\end{pmatrix} \);

4) \( A = \begin{pmatrix}
5 & 6 & -3 \\
-1 & 0 & 1 \\
1 & 2 & -1
\end{pmatrix} \).


5) \( A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)；

6) \( A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ -1 & -3 & 0 \end{pmatrix} \)；

7) \( A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ -4 & -1 & 0 \\ 4 & -8 & -2 \end{pmatrix} \)；

20. 在上题中哪些变换的矩阵可以在适当的基下化成对角形？在可以化成对角形的情况下，写出相应的基变换的过渡矩阵 \( T \)，并验算 \( T^{-1}AT \)。

21. 在 \( P[x]_n(n>1) \) 中，求微分变换 \(\mathcal{D}\) 的特征多项式，并证明 \(\mathcal{D}\) 在任何一组基下的矩阵都不可能是对角矩阵。

22. 设
\[
A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3 \end{pmatrix},
\]
求 \( A^k \)。

23. 设 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \varepsilon_4 \) 是 4 维线性空间 \( V \) 的一组基，线性变换 \( \mathcal{A} \) 在这组基下的矩阵为
\[
A = 
\begin{pmatrix}
5 & -2 & -4 & 3 \\
3 & -1 & -3 & 2 \\
-3 & \frac{1}{2} & \frac{9}{2} & -\frac{5}{2} \\
-10 & 3 & 11 & -7
\end{pmatrix}.
\]

1) 求 \( \mathcal{A} \) 在基
\begin{eqnarray*}
\eta_1 &=& \varepsilon_1 + 2\varepsilon_2 + \varepsilon_3 + \varepsilon_4, \\
\eta_2 &=& 2\varepsilon_1 + 3\varepsilon_2 + \varepsilon_3, \\
\eta_3 &=& \varepsilon_3, \\
\eta_4 &=& \varepsilon_4
\end{eqnarray*}
下的矩阵；

2) 求 \( \mathcal{A} \) 的特征值与特征向量；

3) 求一可逆矩阵 \( T \)，使 \( T^{-1}AT \) 成对角形。

24. 1) 设 \( \lambda_1, \lambda_2 \) 是线性变换 \( \mathcal{A} \) 的两个不同特征值，\( \varepsilon_1, \varepsilon_2 \) 是分别属于 \( \lambda_1, \lambda_2 \) 的特征向量，证明：\( \varepsilon_1 + \varepsilon_2 \) 不是 \( \mathcal{A} \) 的特征向量；

2) 证明：如果线性空间 \( V \) 的线性变换 \( \mathcal{A} \) 以 \( V \) 中每个非零向量作为它的特征向量，那么 \( \mathcal{A} \) 是数乘变换。

25. 设 \( V \) 是复数域上的 \( n \) 维线性空间，\( \mathcal{A}, \mathcal{B} \) 是 \( V \) 上的线性变换，且 \( \mathcal{A} \mathcal{B} = \mathcal{B} \mathcal{A} \)。证明：

1) 如果 \( \lambda_0 \) 是 \( \mathcal{A} \) 的一特征值，那么 \( V_{\lambda_0} \) 是 \( \mathcal{B} \) 的不变子空间；

2) \( \mathcal{A}, \mathcal{B} \) 至少有一个公共的特征向量。

26. 设 \( V \) 是复数域上的 \( n \) 维线性空间，而线性变换 \( \mathcal{A} \) 在基 \( \varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n \) 下的矩阵是一若尔当块。证明：

1) \( V \) 中包含 \( \varepsilon_1 \) 的 \( \mathcal{A} \) 子空间只有 \( V \) 自身；

2) \( V \) 中任一非零 \( \mathcal{A} \) 子空间都包含 \( \varepsilon_n \)；

3) \( V \) 不能分解成两个非平凡的 \( \mathcal{A} \) 子空间的直和。

27. 求下列矩阵的最小多项式：

1) \( \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix} \);

2) \( A = \begin{pmatrix}
3&-1&-3&1 \\ 
-1&3&1&-3 \\ 
3&-1&-3&1 \\ 
-1&3&1&-3 \\ 
\end{pmatrix} \).




\end{document}




